【题目】设为常数,函数.给出以下结论:
①若,则在区间上有唯一零点;
②若,则存在实数,当时, ;
③若,则当时,.
其中正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
由题意可得f(x)过原点,求得f(x)的导数,可得单调性、极值和最值,即可判断①;结合最小值小于0,以及x的变化可判断②③.
函数f(x)=ex(x﹣a)+a,可得f(0)=0,f(x)恒过原点,
①,若a>1,由f(x)的导数为f′(x)=ex(x﹣a+1),
即有x>a﹣1时,f(x)递增;x<a﹣1时,f(x)递减,
可得x=a﹣1处取得最小值,且f(a﹣1)=a﹣ea﹣1,
由ex≥x+1,可得a﹣ea﹣1<0,又f(a)=a>0
则f(x)在区间(a﹣1,a)上有唯一零点,故正确;
②,若0<a<1,由①可得f(x)的最小值为f(a﹣1)<0,
且x→+∞时,f(x)→+∞,可得存在实数x0,当x<x0时,f(x)>0,故正确;
③,若a<0,由①可得f(x)的最小值为f(a﹣1)<0,且x→﹣∞时,f(x)→﹣∞,
当x<0时,f(x)<0,故正确.
故选:D.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2020年开始,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科目满分100分.为了应对新高考,某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人,女生450人)中,根据性别采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查.
(1)学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“政治”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对抽取到的100名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下表是根据调查结果得到的2×2列联表.请将列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由;
选择“物理” | 选择“政治” | 总计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
总计 |
(2)在(1)的条件下,从选择“政治”的学生中抽取5人,再从这5人中随机抽取2 人,设这2人中男生的人数为,求的分布列及数学期望.
附参考公式及数据:,其中
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校为了加强学生数学核心素养的培养,锻炼学生自主探究学习的能力,他们以函数为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究成果如下:其中研究成果正确的是( )
A.同学甲发现:函数的定义域为(﹣1,1),且f(x)是偶函数
B.同学乙发现:对于任意的x∈(﹣1,1),都有
C.同学丙发现:对于任意的a,b∈(﹣1,1),都有
D.同学丁发现:对于函数定义域内任意两个不同的实数x1,x2,总满足
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形中,,,分别是边上的三等分点,将分别沿、折起到、的位置,且使平面底面,平面底面,连结.
(1)证明:平面;
(2)求点到平面的距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩:
用这44人的两科成绩制作如下散点图:
学号为22号的同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常,学号为31号的同学因故未能参加物理学科的考试,为了使分析结果更客观准确,老师将两同学的成绩(对应于图中两点)剔除后,用剩下的42个同学的数据作分析,计算得到下列统计指标:
数学学科平均分为110.5,标准差为18.36,物理学科的平均分为74,标准差为11.18,数学成绩
与物理成绩的相关系数为,回归直线(如图所示)的方程为.
(1)若不剔除两同学的数据,用全部44人的成绩作回归分析,设数学成绩与物理成绩的相关系数为,回归直线为,试分析与的大小关系,并在图中画出回归直线的大致位置;
(2)如果同学参加了这次物理考试,估计同学的物理分数(精确到个位);
(3)就这次考试而言,学号为16号的同学数学与物理哪个学科成绩要好一些?(通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平,可按公式统一化成标准分再进行比较,其中为学科原始分,为学科平均分,为学科标准差).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知为奇函数, 为偶函数,且.
(1)求及的解析式及定义域;
(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
(3)如果函数,若函数有两个零点,求实数的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知双曲线: 的离心率, 、为其左右焦点,点在上,且, , 是坐标原点.
(1)求双曲线的方程;
(2)过的直线与双曲线交于两点,求的取值范围.
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