【题目】已知函数f(x)lg.
(1)判断并证明函数f(x)的单调性;
(2)解关于x的不等式.
【答案】(1)f(x)在(0,4)上单调递减,见解析(2)(0,1)∪(2,3).
【解析】
(1)先求解定义域,再取区间内,再计算的正负即可.
(2)先求得,再根据函数的单调性将不等式转换为求解即可.
(1)f(x)的定义域为(0,4),
f(x)在(0,4)上单调递减,证明如下:
设0<x1<x2<4,则:
,
∵0<x1<x2<4,
∴x2﹣x1>0,x1x2>0,4﹣x1>4﹣x2>0,,
∴,,,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,4)上单调递减;
(2)∵f(1)=1+lg3,
由得,,
∵f(x)在(0,4)上单调递减,
∴,解得0<x<1或2<x<3,
∴原不等式的解集为(0,1)∪(2,3).
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【题目】已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求b的值,判断并用定义法证明f(x)在R上的单调性;
(2)解不等式f(2x+1)+f(x)<0.
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【题目】已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2) 令g(x)=(2-2m)x-f(x).
① 若函数g(x)在x∈[0,2]上是单调函数,求实数m的取值范围;
② 求函数g(x)在x∈[0,2]上的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,平面,,,是棱上的一点.
(1)若平面,证明:;
(2)在(1)的条件下,棱上是否存在点,使直线与平面所成角的大小为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】关于的说法,正确的是( )
A.展开式中的二项式系数之和为2048
B.展开式中只有第6项的二项式系数最大
C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
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【题目】对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]D,同时满足:
①f(x)在[m,n]内是单调函数;
②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n].则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
(1)证明:[0,1]是函数y=f(x)=x2的一个“和谐区间”.
(2)求证:函数不存在“和谐区间”.
(3)已知:函数(a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当a变化时,求出n﹣m的最大值.
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【题目】设为常数,函数.给出以下结论:
①若,则在区间上有唯一零点;
②若,则存在实数,当时, ;
③若,则当时,.
其中正确结论的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】小李从网上购买了一件商品,快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门,已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时,如果小李未到家,则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家,则快递员等小李回来;否则,就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为( )
A. B. C. D.
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