Question

【题目】已知过点的直线与椭圆：交于不同的两点，其中，为坐标原点．

（1）若，求的面积；

（2）在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率互为相反数？

Answer 1

【答案】（1）（2）在轴上存在定点，使得直线与的斜率互为相反数.

【解析】

（1）由题意不妨设点A(0,1),写出直线AB方程，与椭圆方程联立，得点B坐标，根据面积公式即可得结果；（2）设过点D的直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理，即可得到定点T的坐标.

(1)当时，或，

由对称性，不妨令，此时直线：，

联立，消去整理得，

解得，，

故.

所以的面积为.

（2）显然直线的斜率不为0，设直线：，

联立，消去整理得

所以，即，

，，

设，则

因为直线与的斜率互为相反数，所以，

即，

故，故在轴上存在定点，使得直线与的斜率互为相反数.