Question

如图，已知直线与抛物线相切于点，且与轴交于点，为坐标原点，定点的坐标为.

（1）若动点满足，求点的轨迹；

（2）若过点的直线（斜率不等于零）与（1）中的轨迹交于不同的两点（在之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（I）点M的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆

（II）（3－2， 1）

【解析】

试题分析：（I）由，∴直线l的斜率为，

故l的方程为，∴点A坐标为（1，0）

设   则，

由得

整理，得   

∴点M的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆

（II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k(x－2)(k≠0)①

将①代入，整理，得

，

由△>0得0<k²<.  设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)

则 ②   令，由此可得

由②知

    

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3－2， 1）

考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算，简单不等式解法。

点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时，主要运用“直接法”，将向量关系用坐标表示，达到解题目的。（2）作为研究直线与椭圆位置关系下，三角形面积之比的范围问题，应用韦达定理及向量，建立了的不等式，进一步使问题得解。