Question

13．设a＞0，定义在（0，+∞）上的函数f（x）=$\frac{{x}^{3}-（2\sqrt{a}-1）{x}^{2}+ax+a}{x}$．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）≥6恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得a=1时，f（x）=（x-1）²+（x+$\frac{1}{x}$），由二次函数的最值和对号函数的单调性，可得x=1取得最小值；
（2）将f（x）化为（x-$\sqrt{a}$）²+（x+$\frac{a}{x}$），对a讨论，当$\sqrt{a}$≥1即a≥1时，当$\sqrt{a}$＜1，即为0＜a＜1，讨论函数的单调性，可得最小值，由恒成立思想可得f（x）_min≥6，解不等式可得a的最小值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=（x-1）²+（x+$\frac{1}{x}$），
由x＞0可得x=1时，（x-1）²取得最小值0，
x+$\frac{1}{x}$当x=1时取得最小值2，
则f（x）的最小值为2；
（2）f（x）=$\frac{{x}^{3}-（2\sqrt{a}-1）{x}^{2}+ax+a}{x}$
=（x²-2$\sqrt{a}$x+a）+（x+$\frac{a}{x}$）=（x-$\sqrt{a}$）²+（x+$\frac{a}{x}$）
当$\sqrt{a}$≥1即a≥1时，f（x）在[1，$\sqrt{a}$）递减，（$\sqrt{a}$，+∞）递增，
则f（x）在x=$\sqrt{a}$处取得最小值，且为2$\sqrt{a}$，
由题意可得2$\sqrt{a}$≥6，解得a≥9；
当$\sqrt{a}$＜1，即为0＜a＜1，则f（x）在[1，+∞）递增，
则f（x）的最小值为f（1）=2+2a-2$\sqrt{a}$，
由题意可得2+2a-2$\sqrt{a}$≥6，解得a≥4，不成立．
综上可得，a的最小值为9．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．