Question

已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+2），当x＞1时，f（x）单调递减，如果1+x₁x₂＜x₁+x₂＜2，则f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

A．恒小于0

B．恒大于0

C．可能为0

D．可正可负

Answer 1

分析：由已知不妨可设x₁＜1，x₂＞1，则2-x₁＞x₂＞1利用x＞1时，f（x）单调递减，且函数y=f（x）满足f（2+x）=-f（-x），可求

解答：解：由1+x₁x₂＜x₁+x₂＜2，
可得，x₁+x₂＜2，x₁x₂＜1，且（x₁-1）（x₂-1）＜0，
则x₁、x₂中必有1个小于0，另一个大于0，
不妨设x₁＜1，x₂＞1，则2-x₁＞x₂＞1
∵当x＞1时，f（x）单调递减，
∴f（2-x₁）＜f（x₂）
∵函数y=f（x）满足f（2+x）=-f（-x），即f（2-x）=-f（x）
∴f（x₁）-f（x₂）
∴f（x₁）+f（x₂）的值恒大于0，
故选B

点评：本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确运用函数的单调性是关键．