Question

已知P、Q是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上关于原点对称的两点，M是该椭圆上任意一点，且直线MP、MQ的斜率分别为k₁、k₂，若|k1k2|=

1

3

，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  1

  2

• C、

  6

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：先设出P，M，N的坐标，把它们代入椭圆方程，方程相减可分别表示出PM和PN的斜率，二者相乘等于

1

3

同时把x₁=-x₂，y₁=-y₂代入解求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．

解答：解：设p（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把它们代入椭圆方程得

x 02

a2

+

y 02

b2

=1①，

x 12

a2

+

y 12

b2

=1②.

x 22

a2

+

y 22

b2

=1
②-①得PM的斜率k₁=

y0-y1

x0-x1

=

b2(x0+x1)

a2(y0+y1)

，
同理PN的斜率k₂=

y0-y2

x0-x2

=

b2(x0+x2)

a2(y0+y2)

，k₁•k₂=

b4(x0+x2)(x0+x1)

a4(y0+y2)(y0+y1)

=

1

3

，
M、N是椭圆上关于原点对称的两点，x₁=-x₂，y₁=-y₂．
∴

b2

a2

=

1

3

，即a²=3b²，
∴c²=a²-b²=

2

3

a²，
∴e=

c

a

=

6

3

．
故选C

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．当直线与椭圆相交时，涉及弦长中点时，或直线的斜率时都可采用点差法，设出点代入椭圆方程，然后相减，与直线的斜率和弦的中点相联系．