Question

（2013•无为县模拟）下列函数中，最小值为4的是（　　）

• A．y=x+

  4

  x

• B．y=sinx+

  4

  sinx

  (0＜x＜π)
• C．y=2e^x+2e^-x
• D．y=log₃x+4log_x3（0＜x＜1）

Answer 1

分析：函数y=x+

4

x

的定义域是{x|x≠0}，分x＞0和x＜0两种情况讨论求解其值域，得到该函数无最小值；
由题目给出的x的范围，求得sinx的范围，利用基本不等式求其最小值时“=”不成立，所以函数
y=sinx+

4

sinx

取不到最小值4；
对于对数式log_ab，当a，b中有一个大于1，另一个大于0小于1时，对数式的值为负值，所以，
函数y=log₃x+4log_x3（0＜x＜1）取不到正值；
函数y=2e^x+2e^-x的最小值可直接利用基本不等式求得为4．
根据以上分析即可得到正确答案．

解答：解：当x＞0时，y=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，当x＜0时，y=x+

4

x

=-[（-x）+（-

4

x

）]≤-2

(-x)•(- 4 x )

=-4
所以选项A不正确；
因为当0＜x＜π时，sinx∈（0，1]，
y=sinx+

4

sinx

≥2

sinx• 4 sinx

=4，当且仅当sinx=

4

sinx

，即sinx=2时“=”成立，而sinx显然不等于2，
所以选项B不正确；
因为0＜x＜1，所以log₃x＜0，log_x3＜0，所以y=log₃x+4log_x3（0＜x＜1）取不到正值，所以，选项D不正确；
因为e^x＞0，e^-x＞0，所以y=2ex+2e-x=2(ex+e-x)≥4

ex•e-x

=4，
当且仅当e^x=e^-x，即x=0时“=”成立，所以选项C正确．
故选C．

点评：本题考查了利用基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数最值要掌握“一正、二定、三相等”原则，对于等号不能成立的，可利用函数y=x+

k

x

（k＞0）的单调性求给定区间上的最值，此题为中档题．