Question

如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是边长为1的正方形，EB⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥底面ABC；
(2)求证：AC⊥平面EBC；

Answer 1

（1）先证明GF//AC，再根据线面平行的判定定理即可证明
（2）先证BE⊥AC，再证AC⊥BC，根据线面垂直的判定定理即可证明

试题分析：(1)连接AE，如下图所示．
∵ADEB为正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，
又G是EC的中点，∴GF∥AC，
又AC?平面ABC，GF平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB?平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.
又∵AC＝BC＝AB，∴CA²＋CB²＝AB²，∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.
点评：要证明线面平行与线面垂直，就要紧扣相应的判定定理和性质定理，定理中要求的条件缺一不可.