Question

14．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，{a_n}中的部分项组成的数列a_k1，a_k2，…a_kn恰好成等比数列，其中k₁=1，k₂=5，k₃=17，求：
（1）k_n；
（2）求数列{k_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₁，a₅，a₁₇成等比数列，计算可得a₁=2d，进而可得等比数列{a_kn}的公比$q=\frac{a_5}{a_1}=\frac{{{a_1}+4d}}{a_1}=3$，从等差数列、等比数列两个角度写成${a}_{{k}_{n}}$的不等式，计算即得结论；
（2）通过k_n=2•3^n-1-1，利用等比数列的求和公式计算即可．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
根据题意可得：a₁，a₅，a₁₇成等比数列，
∴${（{a_1}+4d）^2}={a_1}（{a_1}+16d）$，
整理得：2d²=da₁，
∵d≠0，∴a₁=2d，
∴$q=\frac{a_5}{a_1}=\frac{{{a_1}+4d}}{a_1}=3$，
∴${a_{k_n}}={a_{k_1}}•{q^{n-1}}={a_1}•{q^{n-1}}={a_1}•{3^{n-1}}$，
又${a_{k_n}}={a_1}+（{k_n}-1）d={a_1}+（{k_n}-1）•\frac{a_1}{2}$，
∴${a_1}+（{k_n}-1）•\frac{a_1}{2}={a_1}•{3^{n-1}}$，
∵a_n≠0，
∴k_n=2•3^n-1-1；
（2）∵k_n=2•3^n-1-1，
∴T_n=2（3⁰+3¹+3²+…+3^n-1）-n
=2•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n
=3ⁿ-n-1．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．