Question

9．如图，AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值等于（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -2
• C． -1
• D． -$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PO}$，从而把要求的式子化为-2|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PC}$|，再利用基本不等式求得|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PC}$|≤$\frac{1}{4}$，从而求得则（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PO}$，∴（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PC}$=-2|$\overrightarrow{PO}$|•$\overrightarrow{PC}$|，
∵|$\overrightarrow{PO}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1．
再利用基本不等式可得1≥2 $\sqrt{\overrightarrow{|PO}|•|\overrightarrow{PC}|}$，故有|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PC}$|≤$\frac{1}{4}$，-|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PC}$|≥-$\frac{1}{4}$，
∴（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=-2|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PC}$|≥-$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查向量在几何中的应用、以及基本不等式的应用问题，属于中档题目．