Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)若在处取到极小值，求的值及函数的单调区间；

(2)若当时， 恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】【试题分析】（1）令可求得的值.利用二阶导数求得函数点的单调区间.（2）对求导，并对分成，三类讨论函数的最小值，由此求得的取值范围.

【试题解析】

（Ⅰ）由，得

因为，所以，所以

令，则，

当时，，故在单调递增，且

所以当，.

即当时，，当时，.

所以函数在上递减，在上递增.

（Ⅱ）【法一】由，得

（1）当时，，在上递增

（合题意）

（2）当时，，当时，

①当时，因为，所以，.

在上递增，（合题意）

②当时，存在时，满足

在上递减，上递增，故.

不满足时，恒成立

综上所述，的取值范围是.

【法二】由，发现

由在恒成立，知其成立的必要条件是

而， ，即

①当时，恒成立，此时在上单调递增，

（合题意）.

②当时，在时，有，知，

而在时，，知，

所以在上单调递增，即（合题意）

综上所述，的取值范围是.