Question

【题目】如图，抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．

（Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求；

（Ⅱ）若，求圆C的半径．

Answer 1

【答案】（1）2（2）

【解析】试题分析：由抛物线的方程表示出焦点的坐标及准线方程，求出到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出

设，表示出圆的方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设，利用韦达定理表示出，利用，得，解得的纵坐标，从而得到圆心的坐标，由两点间的距离公式求出，即为圆的半径。

解析：（Ⅰ）抛物线的准线l的方程为

由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为（1，2）

∴点C到准线l的距离d=2，又，

∴

（Ⅱ）设，则圆C的方程为

即．

由，得．

设，则

，

由，得

∴，解得，此时．

∴圆心C的坐标为，

从而，

即圆C的半径为

点睛:本题主要考查了抛物线的方程，圆的方程与性质，直线与圆的位置关系等基础知识，考查了学生的运算求解能力，推理论证能力，考查了函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，属于中等难度题。