Question

9．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ x-1≤0\\ 3x-y+1≥0\end{array}\right.$，则目标函数$z=\frac{y+1}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{1}{2}，\frac{5}{2}}]$
• B． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• C． $[{\frac{1}{2}，2}]$
• D． $[{\frac{5}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，由$z=\frac{y+1}{x+1}$的几何意义，即可行域内的动点与定点P（-1，-1）连线的斜率求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ x-1≤0\\ 3x-y+1≥0\end{array}\right.$作出可行域如图，

A（1，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得B（1，4），
$z=\frac{y+1}{x+1}$的几何意义为可行域内的动点与定点P（-1，-1）连线的斜率，
∵${k}_{PA}=\frac{-1-0}{-1-1}=\frac{1}{2}$，${k}_{PB}=\frac{-1-4}{-1-1}=\frac{5}{2}$，
∴数$z=\frac{y+1}{x+1}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．