Question

4．已知函数y=a^x+2-2的图象过的定点在函数y=-$\frac{n}{m}$x-$\frac{1}{m}$的图象上，其中m，n为正数，求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 当x=-2时，y=a⁰-2=-1，可得函数y=a^x+2-2的图象过的定点（-2，-1）．把（-2，-1）代入函数y=-$\frac{n}{m}$x-$\frac{1}{m}$可得m+2n=1．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答 解：当x=-2时，y=a⁰-2=-1，∴函数y=a^x+2-2的图象过的定点（-2，-1）．
把（-2，-1）代入函数y=-$\frac{n}{m}$x-$\frac{1}{m}$可得-1=$\frac{2n}{m}$-$\frac{1}{m}$，化为m+2n=1．
又∵m，n为正数，∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=3+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当m=$\sqrt{2}$n=$\sqrt{2}$-1取等号．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了指数函数的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．