设函数f(x)的定义域为R.如果存在函数g对于一切实数x都成立.那么称g的一个承托函数．已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点．(1)若a=1.b=2．写出函数f(x)的一个承托函数,(2)判断是否存在常数a.b.c.使得y=x为函数f(x)的一个承托函数.且f(x)为函数$y=\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（-1，0）．
（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；
（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数$y=\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．

分析（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；
（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．

解答解：（1）函数f（x）=ax²+bx+c的图象经过点（-1，0），
可得a-b+c=0，又a=1，b=2，
则f（x）=x²+2x+1，
由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；
（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，
且f（x）为函数$y=\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}$的一个承托函数．
即有x≤ax²+bx+c≤$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$恒成立，
令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，
即1-b=a+c，
又ax²+（b-1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b-1）²-4ac≤0，
即为（a+c）²-4ac≤0，即有a=c；
又（a-$\frac{1}{2}$）x²+bx+c-$\frac{1}{2}$≤0恒成立，
可得a＜$\frac{1}{2}$，且b²-4（a-$\frac{1}{2}$）（c-$\frac{1}{2}$）≤0，
即有（1-2a）²-4（a-$\frac{1}{2}$）²≤0恒成立．
故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜$\frac{1}{2}$，b=1-2a，
可取a=c=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$．满足题意．

点评本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题．

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