Question

已知如图（1），正三角形ABC 的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足

CE

CA

=

CF

CB

=k，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图（2）．
（Ⅰ） 证明AB∥平面DEF；
（Ⅱ） 求二面角B-AC-D的平面角的正切值；
（Ⅲ） 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为

2

4

，求k的值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）根据已知条件

CE

CA

=

CF

CB

便可得到AB∥EF，所以便得到AB∥平面DEF；
（Ⅱ）要求二面角B-AC-D的平面角的正切值，先要找到该平面角．由已知条件容易说明BD⊥平面ACD，所以过D作DG⊥AC，垂足为G，连接BG，则∠DGB便是二面角B-AC-D的平面角，所以根据已知的边的长度可求出DG，BD是已知的，所以带入tan∠DGB=

BD

DG

即可；
（Ⅲ）容易说明异面直线AB与DE所成角为∠DEF或其补角，容易说明DE=DF，并且在△CDE中，根据余弦定理即可求出DE，EF根据条件容易求出，所以在△DEF中，根据已知的cos∠DEF=

2

4

，及余弦定理即可建立关于k的方程，解方程即得到k的值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵E、F分别是AC、BC上的点，且满足

CE

CA

=

CF

CB

；
∴AB∥EF；
∵AB?平面DEF，EF?平面DEF；
∴AB∥平面DEF；
（Ⅱ） 过D点作DG⊥AC于G，连结BG；

∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角；
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD；
∴BD⊥平面ADC．∴BD⊥AC；
∴AC⊥DG，AC⊥BD；
∴AC⊥平面BGD；
∴BG⊥AC；
∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角；
在RtADC中，AD=a，DC=

3

a，AC=2a，∴DG=

AD•DC

AC

=

3 a2

2a

=

3 a

2

；
在Rt△BDG中，tan∠BGD=

BD

DG

=

a

3 a 2

=

2 3

3

；
（Ⅲ）∵AB∥EF，∴∠DEF（或其补角）是异面直线AB与DE所成的角；
∵

CE

CA

=

CF

CB

=k，CA=CB=2a；
∴CE=CF=2ak，又∠ECD=∠FCD；
∴△CED≌△CFD；
∴DE=DF=

CE2+CD2-2CE•CD•cos∠ECD

=

4a2k2+3a2-4 3 a2k• 3 a 2a

=a•

4k2-6k+3

∵

CE

CA

=

CF

CB

=k；
∴

EF

AB

=k，AB=

2

a；
∴EF=

2

ak；
∴在△DEF中，cos∠DEF=

DE2+EF2-DF2

2DE•EF

=

EF

2DE

=

2 ak

2a• 4k2-6k+3

=

2

4

；
∴解得k=

1

2

．

点评：考查平行线分线段成比例定理，线面平行的判定定理，异面直线所成角的概念，以及二面角的平面角的概念，余弦定理．