【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PCD,PD⊥CD,底面ABCD是梯形,AB∥DC,AB=AD=PD=1,CD=2AB, 为棱PC上一点.
(Ⅰ)若点是PC的中点,证明:B
∥平面PAD;
(Ⅱ) 试确定
的值使得二面角
-BD-P为60°.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)取的中点
,连接
,由三角形中位线定理结合可得题设条件可得四边形
是平行四边形,
,由线面平行的判定定理可得结论;(Ⅱ)
两两垂直,以
为原点
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,可证明
平面
,
是平面
的法向量,利用向量垂直数量积为零,用
表示出平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.
试题解析:(Ⅰ)取PD的中点M,连接AM,M,
,
M
∥CD,
又AB∥CD, ∥AB,QM=AB,
则四边形ABQM是平行四边形. ∥AM.
又平面PAD,BQ
平面PAD,
∥平面PAD.
(Ⅱ)解:由题意可得DA,DC,DP两两垂直,以D为原点,DA,DC,DP所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,1,1),C(0,2,0),A(1,0,0),B(1,1,0).
令
又易证BC⊥平面PBD,
设平面QBD的法向量为
令
,
解得
Q在棱PC上,
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【题目】已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为
,椭圆的一个焦点为圆
的圆心.
(1)求椭圆的方程;
(2)若M,N为椭圆上的两个动点,直线OM,ON的斜率分别为,当
时,△MON的面积是否为定值?若为定值,求出此定值;若不为定值,说明理由.
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【题目】已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是
.
(1)求的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为,第二次取出的小球标号为
.记“
”为事件
,求事件
的概率.
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【题目】已知双曲线具有性质:若
、
是双曲线左、右顶点,
为双曲线上一点,且
在第一象限.记直线
,
的斜率分别为
,
,那么
与
之积是与点
位置无关的定值.
(1)试对椭圆,类比写出类似的性质(不改变原有命题的字母次序),并加以证明.
(2)若椭圆的左焦点
,右准线为
,在(1)的条件下,当
取得最小值时,求
的垂心
到
轴的距离.
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【题目】已知椭圆的一个焦点与抛物线
的焦点相同,A为椭圆C的右顶点,以A为圆心的圆与直线
相交于P,
两点,且
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程和圆A的方程;
(Ⅱ)不过原点的直线与椭圆C交于M、N两点,已知OM,直线
,ON的斜率
成等比数列,记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S1、S2,试探究
的值是否为定值,若是,求出此值;若不是,说明理由.
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