Question

如图所示，在直三棱柱中，，D为AC的中点．

(Ⅰ)求证：

(Ⅱ)若，求证：；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，  求二面角B-A₁C₁-D的大小．

Answer 1

解：(Ⅰ) 连结AB₁交A₁B于E，连ED．

∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱中，且AB=BB_l，

∴侧面ABB₁A₁是一正方形． 

∵E是AB₁的中点．又已知D为AC的中点．

∴在△AB₁C中，ED是中位线．

∴B₁C//ED．

∴B₁C∥平面A₁BD．

(Ⅱ)  ∵ AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B．

又∵侧面ABB₁A₁是一正方形，∴A₁B⊥AB₁．

∴A₁B⊥平面AB₁C₁．∴A₁B⊥B₁C₁．

又∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴BB₁⊥B₁C₁．

∴B_lC_l⊥平面ABB₁A₁     

(Ⅲ)  ∵AB=BC，D为AC的中点，

∴BD⊥AC．∴BD⊥平面DC₁A₁．

∴BD就是三棱锥B-A₁C₁D的高．

由(Ⅱ)知   B_lC_l⊥平面ABB_lA_l，∴BC⊥平面ABB_lA_l．

∴BC⊥AB．以BA、BC、BB₁分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

不妨设 AB=BC=BB₁=1，则显然B、D、A₁、C₁各点的坐标分别是

B（0，0，0），D(,,0) ， A₁（1，0，1），C₁（0，1，1）.

∴(1，0，1)， =（0，1，1），(，，0).

显然，就是平面A₁C₁D的法向量.

设平面BA₁C₁ 的法向量为，则，

∴?（1，0，1）=0，?（0，1，1）=0

∴. 令，则=（1，1，-1）

设与 所成的角为，则.

由图形可知二面角B-A₁C₁-D的平面角为锐角，

∴二面角B-A₁C₁-D的大小为.