Question

给出4个命题：
（1）设椭圆长轴长度为2a（a＞0），椭圆上的一点P到一个焦点的距离是，P到一条准线的距离是，则此椭圆的离心率为．
（2）若椭圆（a≠b，且a，b为正的常数）的准线上任意一点到两焦点的距离分别为d₁，d₂，则|d₁²-d₂²|为定值．
（3）如果平面内动点M到定直线l的距离与M到定点F的距离之比大于1，那么动点M的轨迹是双曲线．
（4）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A₁、B₁，则FA₁⊥FB₁．
其中正确命题的序号依次是________．（把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

解：对于（1）：椭圆上的一点P到一个焦点的距离是，P到相应的一条准线的距离是，则此椭圆的离心率才为．本选项中的准线不一定与焦点对应，故错；
对于（2）若椭圆（a≠b，且a，b为正的常数）的准线上任意一点到两焦点的距离分别为d₁，d₂，则|d₁²-d₂²|=4a²为定值，正确．
（3）如果平面内动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离之比大于1，那么动点M的轨迹才是双曲线，故错．
对于（4）如图：设准线与x轴的交点为K，∵A、B在抛物线的准线上的射影为A₁、B₁，
由抛物线的定义可得，AA₁=AF，∴∠AA₁F=∠AFA₁，又由内错角相等得∠AA₁F=∠A₁FK，
∴∠AFA₁=∠A₁FK．
同理可证∠BFB₁=∠B₁ FK．
由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，
∴∠A₁FK+∠B₁FK=∠A₁FB₁=90°，则FA₁⊥FB₁．正确．
故答案为：（2）（4）．
分析：对于（1）：椭圆上的一点P到一个焦点的距离是，P到相应的一条准线的距离是，则此椭圆的离心率才为．；对于（2）若椭圆（a≠b，且a，b为正的常数）的准线上任意一点到两焦点的距离分别为d₁，d₂，则|d₁²-d₂²|=4a²为定值；（3）如果平面内动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离之比大于1，那么动点M的轨迹才是双曲线；对于（4）由抛物线的定义及内错角相等，可得∠AFA₁=∠A₁FK，同理可证∠BFB₁=∠B₁FK，由∠AFA₁+∠A₁FK+∠BFB₁+∠B₁FK=180°，可得答案．
点评：本小题主要考查双曲线的定义、抛物线的定义、以及简单性质的应用、椭圆的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．