Question

20．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（c）=0，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，求a，b．

Answer 1

分析 利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，根据正弦定理和已知等式求得a和b的关系，进而利用余弦定理求得a，则b可求．

解答 解：∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
∴f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，
∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
由C为三角形内角，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，
∴sinB-2sinA=0，即b=2a，
则c²=a²+b²-2abcosC，即3=a²+4a²-4a²×$\frac{1}{2}$，
解得：a=1，b=2

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．要求学生对诸如二倍角公式，两角和公式三角函数性质和图象等知识能熟练掌握．