Question

15．在直角坐标系xoy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=2sinθ，曲线C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．
（Ⅰ）求C₂与C₃交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C₂与C₁相交于点A，C₃与C₁相交于点B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将C₂与C₃转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；
（Ⅱ）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₂：ρ=2sinθ得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²=2y，①
C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ，则ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ，即x²+y²=2$\sqrt{3}$x，②
由①②得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即C₂与C₃交点的直角坐标为（0，0），（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（Ⅱ）曲线C₁的直角坐标方程为y=tanαx，
则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．
因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2$\sqrt{3}$cosα，α）．
所以|AB|=|2sinα-2$\sqrt{3}$cosα|=4|sin（α$-\frac{π}{3}$）|，
当α=$\frac{5π}{6}$时，|AB|取得最大值，最大值为4．

点评 本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用，考查学生的运算和转化能力．