Question

7．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过焦点F且斜率为$\sqrt{3}$的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （1，$\sqrt{3}$]
• C． [2，+∞）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 若过点F且斜率为$\sqrt{3}$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．

解答 解：已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为F，
若过点F且斜率为$\sqrt{3}$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率$\frac{b}{a}$，
∴$\frac{b}{a}$≥$\sqrt{3}$，
即有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$≥4，
∴e≥2，
故选C．

点评 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．