Question

17．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），F₁、F₂分别为它的左、右焦点，过焦点且垂直于X轴的弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）问是否存在过椭圆焦点F₂的弦PQ，使得|PF₁|，|PQ|，|QF₁|成等差数列，若存在，求出PQ所在直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件列出方程组，求出椭圆的几何量a，b，然后求解椭圆方程．
（2）不存在．推出$|{PQ}|=\frac{8}{3}$．显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，推出矛盾结果；当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，得到直线PQ的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆C的方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理以及弦长公式，推出结果即可．

解答 解：（1）由条件过焦点且垂直于X轴的弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形．
得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{2{b^2}}}{a}=3\\ \frac{b}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\end{array}\right.$，所以椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（4分）
（2）不存在．由条件得：|PF₁|+|PQ|+|QF₁|=3|PQ|=8，则$|{PQ}|=\frac{8}{3}$．
显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ斜率不存在时，$|PQ|=\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{2×3}{2}=3≠\frac{4}{3}$．
当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，
则直线PQ的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆C的方程，
消去y并整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，△=144（k²+1）＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{x_1}•\;{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
∴$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}•\;\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}•\;{x_2}}=\frac{{12（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+3}}$，
当$\frac{{12（{k^2}+1）}}{{4{k^2}+3}}=\frac{8}{3}$时，k无解． （12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用．