Question

7．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：吨）的影响，对近8年的年宣传费x₁和年销售量y_i（i=1，2，3，..8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中：w₁=$\sqrt{{x}_{1}}$，$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$w_i
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d$\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的回归方程，求当年宣传费x=36千元时，年销售预报值是多少？
附：对于一组数据（u₁　v₁），（u₂　v₂）…..（u_n　v_n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{8}（{u}_{1}-\overline{u}）（{v}_{1}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{8}（{u}_{1}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由散点图可以判断；（Ⅱ）令?=$\sqrt{x}$，求出$\widehat{d}$，$\widehat{c}$代入方程即可；（Ⅲ）将x=36代入方程求出即可．

解答 解：（Ⅰ）由散点图可以判断：y=c+d$\sqrt{x}$适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；
（Ⅱ）令?=$\sqrt{x}$，先建立y关于ω的线性回归方程，
由于$\widehat{d}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（ω}_{i}-\overline{ω}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{n}（_{ωi}-\overline{ω}）}^{2}}$=$\frac{108.8}{1.6}$=68，
$\widehat{c}$=$\overline{y}$-$\widehat{d}$$\overline{ω}$=563-68×6.8=100.6，
∴y关于ω的线性回归方程为：$\widehat{y}$=100.6+68ω；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当x=36时，年销售量y的预报值
$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{36}$=508.6，
故年宣传费x=36千元时，年销售预报值是508.6吨．

点评 本题考查了求线性回归方程的求解，考查求函数值问题，是一道中档题．