Question

15．设a为正实数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+7，若f（x）≥1-a对一切x＞0成立，则a的取值范围为[4，+∞）．

Answer 1

分析 设x＞0则-x＜0，利用条件和奇函数的性质求出x＞0时的解析式，再由基本不等式求出此时f（x）的最小值，根据恒成立列出不等式，求出a的取值范围．

解答 解：设x＞0，则-x＜0，
∵当x＜0时，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+7，
∴f（-x）=-x-$\frac{a}{x}$+7，
∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=x+$\frac{a}{x}$-7，
又a是正实数，则x+$\frac{a}{x}$≥$2\sqrt{a}$，当且仅当x=$\frac{a}{x}$时取等号，
∴f（x）=x+$\frac{a}{x}$-7≥$2\sqrt{a}$-7，
∵f（x）≥1-a对一切x＞0成立，
∴$2\sqrt{a}$-7≥1-a，即a+$2\sqrt{a}$-8≥0，
解得$\sqrt{a}≥2$或$\sqrt{a}≤-4$（舍去），即a≥4，
∴a的取值范围为[4，+∞），
故答案为：[4，+∞）．

点评 本题考查奇函数的性质，以及基本不等式求最值的应用，属于中档题．