Question

16．如图，已知圆（x-2）²+y²=$\frac{4}{9}$是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆C的左顶点，且椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，则此椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{16}+{y^2}=1$．

Answer 1

分析 利用椭圆G的离心率为e=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，设左顶点A（-a，0），根据圆（x-2）²+y²=$\frac{4}{9}$是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的内接△ABC的内切圆，求出a，b的值，可求椭圆的标准方程；

解答 解：设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A（-a，0），
∵e=$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{c}{a}$，得c=$\frac{\sqrt{15}}{4}$a，
则b²=a²-c²=$\frac{{a}^{2}}{16}$，
即b=$\frac{a}{4}$，
由圆G（x-2）²+y²=$\frac{4}{9}$是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的内接△ABC的内切圆，
过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H，

则BH=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{16}-\frac{4}{9}}$，AD=$\sqrt{（a+2）^{2}-（\frac{2}{3}）^{2}}$，
∵$\frac{GD}{AD}=\frac{BH}{AH}$，
即$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{{（a+2）}^{2}-{（\frac{2}{3}）}^{2}}}=\frac{\sqrt{\frac{{a}^{2}}{16}-\frac{4}{9}}}{a+2+\frac{2}{3}}$，
解得：a=4，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{16}+{y^2}=1$

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的方程，本题计算量比较大，属于难题．