Question

19．在△ABC中，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow b$，用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{ME}$=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{4}\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 由平行线等分线段定理及中线的定义知，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，进而根据向量减法的三角形法则，可得答案．

解答 解：如图，△ABC中，
∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，DE∥BC，且与边AC相交于点E，
△ABC的中线AM与DE相交于点N，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
又∵AM是△ABC的中线，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{ME}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{4}\overrightarrow{b}$，
故答案为：$-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{4}\overrightarrow{b}$

点评 本题考查平面向量的加法法则的应用，是基础题，解题时要注意平行线等分线段定理的灵活运用．