Question

18．曲线f（x）=x²（x＞0）在点（a，f（a））处的切线与两条坐标轴围城的三角形的面积为2，则实数a的值为2．

Answer 1

分析 求出曲线f（x）=x²（x＞0）在点（a，f（a））处的切线方程，进一步求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式求得a值．

解答 解：∵f（x）=x²（x＞0），
∴f′（x）=2x，故曲线f（x）=x²（x＞0）在点（a，f（a））处的切线的斜率为2a（a＞0），
∴曲线f（x）=x²（x＞0）在点（a，f（a））处的切线方程为y-a²=2a（x-a），
即2ax-y-a²=0，其与两坐标轴的交点坐标分别为（0，-a²），（$\frac{a}{2}，0$），
∴$\frac{1}{2}×{a}^{2}×\frac{a}{2}=2$，解得a=2．
故答案为：2．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．