Question

10．如图，两条公路AP与AQ夹角A为钝角，其正弦值是$\frac{3}{5}$．甲乙两人从A点出发沿着两条公路进行搜救工作，甲沿着公路AP方向，乙沿着公路AQ方向．
（1）当甲前进5km的时候到达P处，同时乙到达Q处，通讯测得甲乙两人相距$\sqrt{58}$km，求乙在此时前进的距离AQ；
（2）甲在5公里处原地未动，乙回头往A方向行走至M点收到甲发出的信号，此时M点看P、Q两点的张角为$\frac{3π}{4}$（张角为∠QMP），求甲乙两人相距的距离MP的长．

Answer 1

分析 （1）在△APQ中，利用余弦定理即可求出AQ；
（2）在△APM中，利用正弦定理计算PM．

解答 解：（1）在△APQ中，∵A是钝角，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴cosA=-$\frac{4}{5}$，
由余弦定理得，PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA，
即58=25+AQ²+8AQ，
解得：AQ=3或AQ=-11（舍）．
（2）在△APM中，AP=5，∠AMP=$π-\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{4}$，
由正弦定理得：$\frac{AP}{sin∠AMP}=\frac{PM}{sin∠A}$，
∴PM=$\frac{AP•sinA}{sin∠AMP}$=$\frac{5×\frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正余弦定理解三角形，属于基础题．