Question

2．已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长为2$\sqrt{2}$，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-1，$\frac{2}{3}$），求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出直线方程y=x+m，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合AB⊥PM求得m，可得A，B的坐标，求出|AB|，再由点到直线的距离公式求出P到AB的距离，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{2a=2\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
又b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线l的方程为y=x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，
AB中点M（x₀，y₀），则${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2m}{3}$，${y}_{0}={x}_{0}+m=\frac{m}{3}$．
∵AB为等腰三角形PAB的底边，∴AB⊥PM，
又P（-1，$\frac{2}{3}$），∴${k}_{PM}=\frac{\frac{2}{3}-\frac{m}{3}}{-1+\frac{2m}{3}}=-1$，解得m=1．
此时方程3x²+4mx+2m²-2=0化为3x²+4x=0，
解得${x}_{1}=-\frac{4}{3}$，x₂=0．
∴${y}_{1}=-\frac{1}{3}$，y₂=1，则A（$-\frac{4}{3}，\frac{1}{3}$），B（0，1），
∴|AB|=$\sqrt{（-\frac{4}{3}-0）^{2}+（\frac{1}{3}-1）^{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
点P到直线AB的距离d=$\frac{|-1-\frac{2}{3}+1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}•|AB|•d=\frac{4}{9}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．