Question

17．已知函数f（x）=x²-ax，x∈R，其中a＞0．
（1）若函数f（x）在R上的最小值是-1，求实数a的值；
（2）若存在两个不同的点（m，n），（n，m）同时在曲线f（x）上，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的最值列出方程求解即可．
（2）利用点在曲线上，求出m、n、a的关系式，通过二次函数的性质求解a的范围即可．

解答 解：（1）∵$f（x）={x^2}-ax=（x-\frac{a}{2}）-\frac{a^2}{4}$，x∈R，
∴当$x=\frac{a}{2}$时，$f{（x）_{min}}=-\frac{a^2}{4}=-1$，…（2分）
∵a＞0，∴a=2．   …（4分）
（2）∵（m，n），（n，m）同时在函数f（x）的图象上，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}-am=n}\\{{n^2}-an=m}\end{array}}\right.$…（6分）
∴（m²-n²）-a（m-n）=n-m，…（7分）
∵m≠n，并且存在两个不同的点（m，n），（n，m）同时在曲线f（x）上，
∴m+n-a=-1，且$m≠\frac{a-1}{2}$，
∴n=a-1-m，…（9分）
∴m²-am=a-1-m，
∴方程m²+（1-a）m+1-a=0有解，$m≠\frac{a-1}{2}$，…（11分）
∴（1-a）²-4（1-a）≥0，且${（\frac{a-1}{2}）^2}+（1-a）（\frac{a-1}{2}）+1-a≠0$
∴1-a≥4或1-a≤0，且a≠-3，1，…（13分）
∵a＞0，
∴a＞1．   …（14分）
（注：若没有考虑$m≠\frac{a-1}{2}$，得到a≥1，扣2分）

点评 本题考查函数与方程的应用，二次函数的性质，考查转化思想以及计算能力．