Question

7．已知函数f（x）=e^x-x²-1，x∈R．
（1）求函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x∈R时，求证：f（x）≥x²+x；
（3）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，可得f′（0）=1，再求出切点为（0，0），利用直线方程的点斜式可得函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）令g（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，利用导数求其最小值为0，可得g（x）≥0，即可证明f（x）≥-x²+x；
（3）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立等价于k＜$\frac{f（x）}{x}$对任意的x∈（0，+∞）恒成立．令φ（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用导数求其最小值为e-2，则实数k的取值范围可求．

解答 （1）解：f′（x）=e^x-2x，
∴f′（0）=1，切点为（0，0），
∴函数的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；
（2）证明：令g（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，则由g′（x）=e^x-1=0，得x=0，
∴x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
∴g（x）_min=g（0）=0，
∴g（x）≥0，即f（x）≥-x²+x；
（3）解：f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立等价于k＜$\frac{f（x）}{x}$对任意的x∈（0，+∞）恒成立．
令φ（x）=$\frac{f（x）}{x}$，∴φ′（x）=$\frac{（x-1）（{e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$，
由（2）知x∈（0，+∞）时，e^x-x-1＞0，
∴x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增．
∴φ（x）_min=φ（1）=e-2，
∴k＜e-2．
∴k的取值范围（-∞，e-2）．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及其最值的求法，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．