Question

15．已知1是函数f（x）=ax³-3x的一个极值点，其中a为实数．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，利用1是函数f（x）=ax³-3x的一个极值点，即可求解a．
（2）由（1）得：f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），求出极值点，通过判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³-3x，
∴f'（x）=3ax²-3，…（2分）
∵1是函数f（x）=ax³-3x的一个极值点，
∴f'（1）=0，…（3分）
∴3a-3=0，
∴a=1，…（5分）
当a=1时，f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），满足题意．                  …（6分）
（2）由（1）得：f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f'（x）=0，
∴x₁=-1，x₂=1，…（8分）

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	f（-2）	增	极大值	减	极小值	增	f（2）

…（10分）
∵f（-1）=2，f（2）=2，
∴f（x）在区间[-2，2]上的最大值是2．                                …（12分）

点评 考查利用导数研究函数的极值以及函数最值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．