Question

20．已知函数f（x）=mx²-mx（m∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）若对于任意x∈[1，2]，不等式$\frac{1}{m}$f（x）＞m-3恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论m的范围求出不等式的解集即可；
（2）设g（x）=x²-x+3，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1））f（x）＜0，
即mx²-mx＜0，
即mx（x-1）＜0，
当m＜0时，解集是（-∞，0）∪（1，+∞），
当m=0时，解集是∅，
当m＞0时，解集是（0，1）；
（2）不等式$\frac{1}{m}$f（x）＞m-3可化为x²-x+3＞m，
设g（x）=x²-x+3，则g（x）的图象的对称轴是x=$\frac{1}{2}$，
故g（x）在[1，2]递增，
则g（x）_min=g（1）=3，
故m＜3且m≠0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．