Question

5．完成下列两个题目．
（1）某旅游团要从8个风景点中选出两个风景点作为当天的游览地，满足下面条件的选法各有多少种？
①甲、乙两个风景点至少选一个；
②甲、乙两个风景点至多选一个；
③甲、乙两个风景点必须选一个且只能选一个．
（2）计算C${\;}_{2n-3}^{n-1}$+C${\;}_{n+1}^{2n-3}$的值．

Answer 1

分析 （1）①运用间接法分析：首先计算从8个风景点中选2个风景点的选法数目，进而计算甲和乙两个风景点都不选，即从剩余的6个风景点中选2个风景点的排法数目，运用排除法计算即可得答案；
②运用间接法分析：首先计算从8个风景点中选2个风景点的选法数目，从中排除甲和乙两个风景点都入选情况数目，即可得答案．
③运用直接法分析，从甲乙2个景点选一个，再从剩下的6个选一个，即可得到答案；
（2）根据组合公式计算即可．

解答 解：（1）①根据题意，从8个风景点中选2个风景点，有C₈²=28种取法，
甲和乙两个风景点都不选，即从剩余的6个风景点中选2个风景点，有C₆²=15种取法，
则甲乙风景点中至少选一个的情况有28-15=13种；
②根据题意，从8个风景点中选2个风景点，有C₈²=28种取法，
甲和乙两个风景点入选，有1种情况，
则甲乙风景点中国至多选一个的情况有28-1=27种．
③甲乙必须选一个且只能选一个的种数为C₂¹C₆¹=12种
（2）由C${\;}_{2n-3}^{n-1}$+C${\;}_{n+1}^{2n-3}$可得$\left\{\begin{array}{l}{n-1≤2n-3}\\{2n-3≤n+1}\end{array}\right.$，解得2≤n≤4，即n=2，3，4，
当n=2时，C₁¹+C₃¹=4，
当n=3时，C₃²+C₄³=3+4=7，
当n=4时，C₅³+C₅⁵=10+1=11

点评 本题考查排列组合及简单的计数原理，直接分析分类讨论情况较多，间接考虑可以避免讨论．