Question

11．集合A中的元素个数用符号card（A）表示，设A={x|（lnx）²+mx²lnx＞0}，N为自然数集，若card（A∩N）=3，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{ln2}{4}$，-$\frac{ln2}{8}$]
• B． （-$\frac{ln2}{8}$，-$\frac{ln5}{30}$]
• C． （-$\frac{ln2}{8}$，-$\frac{ln5}{25}$]
• D． （-$\frac{ln3}{9}$，-$\frac{ln2}{8}$]

Answer 1

分析 首先将问题转化为方程lnx²+mx²lnx＞0 存在三个大于1的正整数根，然后构造函数，结合函数的单调性得到关于实数m的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．

解答 解：当 x=1时，不等式lnx²+mx²lnx＞0 不成立，
即方程lnx²+mx²lnx＞0 存在三个大于1的正整数根，
此时lnx＞0，则有lnx+mx²＞0 成立，
当 m＞0时，恒有lnx+mx²＞0，不合题意，即 m＜0，
令g（x）=lnx+mx²，则$g'（x）=\frac{1}{x}+2mx=\frac{2m{x}^{2}+1}{x}$，
则函数在区间$（0，\sqrt{-\frac{1}{2m}}）$上单调递增，在区间$（\sqrt{-\frac{1}{2m}}，+∞）$ 上单调递减，
据此可知，满足题意时应有：$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=ln2+4m＞0}\\{g（3）=ln3+9m＞0}\\{g（4）=ln4+16m＞0}\\{g（5）=ln5+25m≤0}\end{array}\right.$，
求解不等式组可得实数 m取值范围是$（-\frac{ln2}{8}，-\frac{ln5}{25}]$．
故选：C．

点评 本题考查了集合与函数相结合的问题，考查了导函数研究函数的单调性，考查了转化的能力．