Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$-（x-$\sqrt{e}$）（x-$\frac{1}{2}$）（其中x∈（0，+∞）），g（x）=lnx和函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{f（x）≥g（x）}\\{g（x）}&{f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$，若方程h（x）=kx有四个不同的解，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{e}}{2e}$）
• C． （$\frac{\sqrt{e}}{2e}$，$\frac{1}{e}$）
• D． （$\frac{1}{e}$，$\frac{\sqrt{e}}{e}$）

Answer 1

分析 作出函数图象，求出切线斜率，根据交点个数得出k的范围．

解答 解：作出h（x）的函数图象如图所示：

设直线y=kx与曲线g（x）=lnx相切，切点为（x₀，y₀），
则有$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=k}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{1}{e}$．
∵h（x）=kx有四个不同的解，
∴直线y=kx与f（x）有2个交点，y=kx与g（x）有2个交点，
∴k＜$\frac{1}{e}$，排除D，
设f（x）与g（x）的交点为A，显然A在第一象限，即k_OA＞0，
∴k＞k_OA．排除A，B．
故选C．

点评 本题考查了函数的图象与性质，导数的几何意义，属于中档题．