Question

16．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）图象的一部分，对不同的x₁，x₂∈[a，b]，若f（x₁）=f（x₂），有f（x₁+x₂）=$\sqrt{3}$，则φ的值为（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 由题意，从图看出x₁，x₂∈[a，b]，f（x₁）=f（x₂），可知x₁，x₂关系函数的对称轴是对称的．即$x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$时其中一条对称轴，且f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=2，f（x₁+x₂）=$\sqrt{3}$，即可求解φ的值．

解答 解：由题意，从图看出A=2，x₁，x₂∈[a，b]，f（x₁）=f（x₂），
可知x₁，x₂关系函数的对称轴是对称的．即$x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$时其中一条对称轴，且f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=2，
∴函数f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=2Asin（ω（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+φ）=2，
可得：ω（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z…①．
∵f（x₁+x₂）=$\sqrt{3}$，
∴函数f（x₁+x₂）=2Asin（ω（x₁+x₂）+φ）=$\sqrt{3}$，
可得：ω（x₁+x₂）+φ=$\frac{π}{3}+2kπ$或$\frac{2π}{3}+2kπ$，k∈Z…②．
令k=0，由①②解得：φ=$\frac{2π}{3}$或$\frac{π}{3}$
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$
故选D．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．