Question

11．已知函数f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|+|2x+1|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正实数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=m，且|x-2|≤a+2b对任意的正实数a，b恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用分段函数的单调性求得函数f（x）的最小值m．
（Ⅱ）利用基本不等式求得a+2b的最小值为9，可得|x-2|≤9，由此求得x的范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|+|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+\frac{1}{2}，x≥\frac{1}{2}}\\{x+\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}}\\{-3x-\frac{1}{2}，x＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
可知当x=-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）取得最小值m=1．
（Ⅱ）由（1）知$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1，∴a+2b=（a+2b）•（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）=5+$\frac{2a}{b}$+$\frac{2b}{a}$≥5+4=9，
当且仅当a=b=3时取等号，即a+2b的最小值为9．
∵|x-2|≤a+2b对任意的正实数a，b恒成立，
∴|x-2|≤9，-9≤x-2≤9，解得-7≤x≤11，
故x的范围为{x|-7≤x≤11}．

点评 本题主要考查分段函数的应用，利用单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．