Question

6．若（2x²-x-1）³=a₀x⁶+a₁x⁵+a₂x⁴+a₃x³+a₄x²+a₅x+a₆，则5a₁+3a₃+a₅=-30．

Answer 1

分析 把所给的等式两边对x求导数后，再分别令x=1，x=-1，可得2个式子，再把这2个式子相加除以2，可得5a₁+3a₃+a₅的值．

解答 解：∵（2x²-x-1）³=a₀x⁶+a₁x⁵+a₂x⁴+a₃x³+a₄x²+a₅x+a₆，
对等式两边同时对x求导数可得3（4x-1）•（2x²-x-1）² =6a₀x⁵+5a₁x⁴+4a₂x³+3a₃x²+2a₄x+a₅ ①，
在①中，令x=1，可得0=6a₀ +5a₁ +4a₂ +3a₃ +2a₄+a₅ ，
在①中，令x=-1，可得-60=-6a₀ +5a₁ -4a₂ +3a₃-2a₄+a₅ ，
再把这2个式子相加除以2，可得5a₁+3a₃+a₅=-30，
故答案为：-30．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，求函数的导数，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．