Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，已知sinC=$\sqrt{2}$sinB．
（Ⅰ）若A=45°，求C；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值及此时b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可得sinC=$\sqrt{2}sin（A+C）=\sqrt{2}sin（4{5}^{0}+C）$⇒sinC=sinC+cosC⇒cosC=0，得C=$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）可得c=$\sqrt{2}b$，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB⇒b²+4=4ccosB，⇒16c²sin²B=-（b²-12）²+128≤128
 即b=2$\sqrt{3}$时，△ABC面积s=$\frac{1}{2}acsinB$的最大值为2$\sqrt{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}{B=π-（A+C）}\\{sinC=\sqrt{2}sinB}\end{array}\right.$，∴sinC=$\sqrt{2}sin（A+C）=\sqrt{2}sin（4{5}^{0}+C）$
⇒sinC=sinC+cosC⇒cosC=0，∵C=$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）∵sinC=$\sqrt{2}$sinB，∴$c=\sqrt{2}b$，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB⇒b²+4=4ccosB
⇒（b²+4）²=16c²cos²B=16c²（1-sin²B）
⇒16c²sin²B=-（b²-12）²+128≤128
∴当b=2$\sqrt{3}$时，（csinB）_max=2$\sqrt{2}$
即b=2$\sqrt{3}$时，△ABC面积s=$\frac{1}{2}acsinB$的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变形，正余弦定理，属于中档题．