Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD四正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=4，点M，N分别是PD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面PAC；
（Ⅲ）求四面体A-BMC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明PB∥平面ACM，利用线面平行的判定定理，只需证明线线平行，利用三角形的中位线可得MO∥PB；
（Ⅱ）证明MN⊥平面PAC，由于MN∥BD，只要证明BD⊥平面PAC，利用线面垂直的判定定理，即可证得；
（Ⅲ）利用等体积法，即V_A-BMC=V_M-ABC求解．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O．
∵点O，M分别是PD，BD的中点，
∴MO∥PB．
∵PB?平面ACM，MO?平面ACM，
∴PB∥平面ACM；
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN∥BD．
∴MN⊥平面PAC；
（Ⅲ）∵PA=AB=AD=4，V_A-MBC=V_M-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC•h，h=$\frac{1}{2}$PA．
∴V_A-BMC=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•AB•AD•$\frac{1}{2}$•PA=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．