Question

13．设函数f（x）=x³+x，若0≤θ≤$\frac{π}{2}$时，f（sinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，1）．

Answer 1

分析 利用奇函数f（x）=x³+x单调递增的性质，可将不等式f（sinθ）+f（1-m）＞0恒成立，转化为sinθ＞m-1恒成立，由0≤θ≤$\frac{π}{2}$，可求得实数m的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x³+x，
∴f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-f（x），
∴函数f（x）=x³+x为奇函数；
又f′（x）=3x²+1＞0，
∴函数f（x）=x³+x为R上的单调递增函数．
∴f（sinθ）+f（1-m）＞0恒成立?f（sinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
∴sinθ＞m-1（0≤θ≤$\frac{π}{2}$）恒成立?m＜sinθ+1恒成立，
由0≤θ≤$\frac{π}{2}$知，0≤sinθ≤1，1≤1+sinθ≤2，
故m∈（-∞，1），
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，突出考查转化思想与恒成立问题，属于中档题．