Question

4．已知 f （x）=sin（x+$\frac{π}{2}$），g（x）=sin（π-x），则下列结论中正确的是（　　）

• A． 函数 y=f （x）•g （ x） 的周期为 2
• B． 函数 y=f （x）•g （ x） 的最大值为 1
• C． 将f （x）的图象向左平移$\frac{π}{2}$个单位后得到 g（x）的图象
• D． y=f（x）+g（x）的一个对称中心是（$\frac{3}{4}π$，0）

Answer 1

分析 根据f （x）=sin（x+$\frac{π}{2}$），g（x）=sin（π-x），依次对各选项化简即可判断．

解答 解：f （x）=sin（x+$\frac{π}{2}$），g（x）=sin（π-x），
那么：f （x）•g （ x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）sin（π-x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x．
∴周期T=$\frac{2π}{2}=π$，∴A选项不对．
∵sin2x的最大值为1，∴y=f （x）•g （ x） 的最大值为 $\frac{1}{2}$，∴B不对．
f （x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx，向左平移$\frac{π}{2}$个单位后，可得cos（x$+\frac{π}{2}$）=-sinx，得不到g（x）的图象，
∴C不对．
f （x）+g（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）+sin（π-x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
当x=$\frac{3}{4}π$时，可得f （x）+g（x）=0，
∴y=f（x）+g（x）的一个对称中心是（$\frac{3}{4}π$，0），
∴D对！
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的性质和化简能力．属于基础题．