Question

14．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面PAB，△PAC为等边三角形，AB⊥PB且AB=PB=$\sqrt{2}$，O为PA的中点，点M在AC上．
（1）求证：平面BOM⊥平面PAC；
（2）求点P到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 （1）由AB=PB，O为PA的中点，得OB⊥PA，再由面面垂直的性质可得BO⊥平面PAC，进一步得到平面BOM⊥平面PAC；
（2）由已知得，△PAB为等腰直角三角形，AB=PB=$\sqrt{2}$，求出等边三角形PAC的面积，然后利用等积法求点P到平面ABC的距离．

解答 （1）证明：∵AB=PB，O为PA的中点，∴OB⊥PA，
又∵平面PAC⊥平面PAB，且OB?平面ABP，
∴BO⊥平面PAC，而OB?平面BOM，
∴平面BOM⊥平面PAC；
（2）解：由已知得，△PAB为等腰直角三角形，AB=PB=$\sqrt{2}$，
∴AP=2，BO=1，等边三角形PAC的面积为${S}_{△PAC}=\sqrt{3}$，
∴${V}_{B-PAC}=\frac{1}{3}×{S}_{△PAC}×BO=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由（1）知OC⊥平面PAB，∴AC=BC=2，
∴在△ABC中，AB边上的高为$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$．
设点P到平面ABC的距离为h，
则有${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
故点P到平面ABC的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，考查多面体体积的求法，是中档题．