Question

16．已知函数f（x）=sin²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{1}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），x∈R．若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{8}$]
• B． （0，$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{5}{8}$，1）
• C． （0，$\frac{5}{8}$]
• D． （0，$\frac{1}{8}$]∪（$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{8}$]

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$），由f（x）=0，可得sin（ωx-$\frac{π}{4}$）=0，解得x=$\frac{kπ+\frac{π}{4}}{ω}$∉（π，2π），即可得出．

解答 解：函数f（x）=sin²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{1}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1-cosωx}{2}$+$\frac{1}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$），
由f（x）=0，可得sin（ωx-$\frac{π}{4}$）=0，
解得x=$\frac{kπ+\frac{π}{4}}{ω}$∉（π，2π），
∴ω∉（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{5}{8}$，$\frac{5}{4}$）∪（$\frac{9}{8}$，$\frac{9}{4}$）∪…=（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{5}{8}$，+∞），
∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
∴ω∈（0，$\frac{1}{8}$]∪[$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{8}$]．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．