Question

4．已知函数 f （x）=（$\sqrt{3}$cosωx+sinωx）•cosωx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其中ω＞0，且f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ） 求ω 的值及函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ） 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角B满足 f （$\frac{B}{2}-\frac{π}{6}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且b=3，sinA+sinC=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得ω 的值及函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ） 先求得B的值，再利用正弦定理求得2r，利用余弦定理求得ac的值，可得△ABC的面积$\frac{1}{2}$ac•sinB的值．

解答 解：（Ⅰ）∵已知函数 f （x）=（$\sqrt{3}$cosωx+sinωx）•cosωx-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2ωx}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），其中ω＞0，
又f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，故函数f（x）的增区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ） 在锐角△ABC中，∵f （$\frac{B}{2}-\frac{π}{6}$）=sinB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
设锐角△ABC外接圆的半径为r，∵b=3，则由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2r，∴2r=2$\sqrt{3}$．
∴sinA+sinC=$\frac{a}{2r}$+$\frac{c}{2r}$=$\frac{a+c}{2r}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴a+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•2r=4．
再由余弦定理可得b²=9=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-3ac=16-3ac，∴ac=$\frac{7}{3}$，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}$•$\frac{7}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．