Question

15．己知圆C过点（$\sqrt{3}$，1），且与直线x=-2相切于点（-2，0），P是圆C上一动点，A，B为圆C与y轴的两个交点（点A在B上方），直线PA，PB分别与直线y=-3相交于点 M，N．
（1 ）求圆C的方程：
（II）求证：在x轴上必存在一个定点Q，使$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$的值为常数，并求出这个常数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意得出圆C的圆心在x轴上，设出圆C的标准方程，求出圆心与半径即可；
（II）【解法一】由题意设出直线AP的方程，根据AP⊥BP写出直线BP的方程，
求出M、N的坐标，设点Q的坐标，利用坐标表示$\overrightarrow{QM}$、$\overrightarrow{QN}$和数量积$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$，
计算$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$为常数时，在x轴上存在一定点Q．
【解法二】由题意设出点P的坐标，根据点P在圆C上，
结合直线AP的方程求出点M、N的坐标；
设出点Q的坐标，利用坐标表示出$\overrightarrow{QM}$、$\overrightarrow{NQ}$，
计算数量积$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$为常数时，在x轴上存在一定点Q．

解答 解：（Ⅰ）∵圆C与直线x=-2相切于点（-2，0），
∴圆C的圆心在x轴上，
设圆C的标准方程为（x-a）²+y²=r²（r＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{{（\sqrt{3}-a）}^{2}+1{=r}^{2}}\\{|a-（-2）|=r}\end{array}\right.$，
解得a=0，r=2；
∴圆C的方程为x²+y²=4；
（II）【解法一】证明：由（Ⅰ）得A（0，2），B（0，-2），
又由已知可得直线AP的斜率存在且不为0，
设直线AP的方程为y=kx+2（k≠0），
∵AB是圆C的直径，∴AP⊥BP，
∴直线BP的方程为y=-$\frac{1}{k}$x-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-3}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{k}}\\{y=-3}\end{array}\right.$；∴M（-$\frac{5}{k}$，-3）；
同理可求N（k，-3）；如图所示，
设Q（t，0），则$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{5}{k}$-t，-3），$\overrightarrow{QN}$=（k-t，-3）；
∴$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=（-$\frac{5}{k}$-t）（k-t）+（-3）×（-3）=t²+4+（$\frac{5}{k}$-k）t，
当t=0时，$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=4为常数，与k无关，
即在x轴上存在一定点Q（0，0），使$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$的值为常数4．
【解法二】证明：由（Ⅰ）得A（0，2），B（0，-2），
设P（x₀，y₀），
由已知得，点P在圆C上，且异于点A、B，∴x₀≠0，y₀≠2，
且${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=4；
∴直线AP的方程为y=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}$x+2，
当y=-3时，x=-$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$，∴点M的坐标为（-$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$，-3），
同理：点N的坐标为（-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+2}$，-3）；
设Q（t，0），则$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$-t，-3），$\overrightarrow{NQ}$=（-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+2}$-t，-3），
∴$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=（-$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$-t）（-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+2}$-t）+9
=t²+（$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+2}$）t+$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+2}$+9
=t²+（$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+2}$）t+4；
当t=0时，$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=4为常数，与k无关，
即在x轴上存在一定点Q（0，0），使$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$的值为常数4．

点评 本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了直线与圆的方程应用问题，是综合题．