Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=2C，c=2，a=1．
（1）求边长b的值；
（2）求sin（2B-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及二倍角公式可求sinB=2sinCcosC，由正弦定理可得：cosC=$\frac{b}{4}$，进而由余弦定理即可计算得解b的值．
（2）由（1）及余弦定理可得cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵B=2C，c=2，a=1．
∴可得：sinB=sin2C=2sinCcosC，
∴由正弦定理：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得：$\frac{b}{2sinCcosC}$=$\frac{2}{sinC}$，
∵C为三角形内角，sinC＞0，可得：cosC=$\frac{b}{4}$，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{b}{4}$=$\frac{1+{b}^{2}-4}{2×1×b}$，整理可得：b=$\sqrt{6}$．
（2）∵由（1）及余弦定理可得：cosB=$\frac{1+4-6}{2×1×2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，可得：sin2B=2sinBcosB=-$\frac{\sqrt{15}}{8}$，cos2B=2cos²B-1=-$\frac{7}{8}$，
∴sin（2B-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sin2B-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2B=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{\sqrt{15}}{8}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{7}{8}$）=$\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{15}}{16}$．

点评 本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形和三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．